解:f(x)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) (1)当x>0时,-x <0, ∵f(x)=xlnx,f(-x)=-xlnx, ∴f(-x)=- f(x), 当x<0时,-x >0, ∵f(x)= xln(-x),f(-x)=-xln(-x), ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数。 (2)当x>0时,f(x)=xlnx, 令f"(x)<0,得 ∴当时,f(x)为减函数 令f"(x)>0,得 ∴当时,f(x)为增函数 又f(x)为奇函数, ∴当时,f(x)为减函数, 当时,f(x)为增函数 ∴f(x)的单调减区间为和 单调增区间为和。 (3)原方程等价于,结合f(x)的图象变化,由(2)知, 时f(x)由0递减到 时f(x)由递增到+∞ x∈时f(x)由-∞递增到 时f(x)由递减到0 ∵方程恰有3个不同的根, ∴f(x)的图象与的图象应有3个不同的交点, ∴或 ∴k<-e或k>e。 |