设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点。(1)求a和b的值;(2)讨论f(x)的单调性。
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设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点。 (1)求a和b的值; (2)讨论f(x)的单调性。 |
答案
解:显然f(x)的定义域为R, (1) , 由x=-2和x=1为f(x)的极值点,得 , 即 , 解得: 。 (2)由(1)得 , 令 ,得 , , , f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
, 从上表可知:函数f(x)在(-2,0)和(1,+∞)上是单调递增的,在(-∞,2)和(0,1)上是单调递减的。 |
举一反三
已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f(x)= x3- x2+ax. (1)当a=2时,求f(x)的极小值; (2)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+lnx(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同。求证:g(x)的极大值小于等于 . |
设函数f(x)= x3- x2+(2-b)x-2有两个极值点,其中一个在区间(0,1)内,另一个在区间(1,2)内,则 的取值范围是( )。 |
已知函数f(x)=(2ax-x2)eax,其中a为常数,且a≥0。 (Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值点; (Ⅱ)若函数f(x)在区间( ,2)内单调递减,求a的取值范围。 |
已知函数f(x)=x3-x2+ax+b(a,b∈R)的一个极值点为x=1,方程ax2+x+b=0的两个实根为α,β(α<β),函数f(x)在区间[α,β]上是单调的, (Ⅰ)求a的值和b的取值范围; (Ⅱ)若x1,x2∈[α,β],证明:|f(x1)-f(x2)|≤1。 |
已知函数f(x)=x3+2x2-ax+l在区间(-l,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围是( )。 |
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