已知函数f(x)=(1)若x<a时,f(x)<1恒成立,求a的取值范围;(2)若a≥-4时,函数f(x)在实数集R上有最小值,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=(1)若x<a时,f(x)<1恒成立,求a的取值范围;(2)若a≥-4时,函数f(x)在实数集R上有最小值,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
(1)若x<a时,f(x)<1恒成立,求a的取值范围;
(2)若a≥-4时,函数f(x)在实数集R上有最小值,求实数a的取值范围.
答案
(1)a≤log
2
(2)a>
时,函数f(x)有最小值
解析
(1)因为x<a时,f(x)=4
x
-4×2
x
-a
,所以令t=2
x
,则有0<t<2
a
.
当x<a时f(x)<1恒成立,转化为t
2
-4×
<1,
即
>t-
在t∈(0,2
a
)上恒成立.
令p(t)=t-
,t∈(0,2
a
),则p′(t)=1+
>0,所以p(t)=t-
在(0,2
a
)上单调递增,
所以
≥2
a
-
,所以2
a
≤
,解得a≤log
2
.
(2)当x≥a时,f(x)=x
2
-ax+1,即f(x)=
+1-
,
当
≤a时,即a≥0时,f(x)
min
=f(a)=1;
当
>a时,即-4≤a<0,f(x)
min
=f
=1-
.
当x<a时,f(x)=4
x
-4×2
x
-a
,令t=2
x
,t∈(0,2
a
),则h(t)=t
2
-
t=
-
,
当
<2
a
,即a>
时,h(t)
min
=h
=-
;
当
≥2
a
,即a≤
时,h(t)在开区间t∈(0,2
a
)上单调递减,h(t)∈(4
a
-4,0),无最小值.
综合x≥a与x<a,所以当a>
时,1>-
,函数f(x)
min
=-
;
当0≤a≤
时,4
a
-4<0<1,函数f(x)无最小值;
当-4≤a<0时,4
a
-4<-3≤1-
,函数f(x)无最小值.
综上所述,当a>
时,函数f(x)有最小值.
举一反三
设y=(log
2
x)
2
+(t-2)log
2
x-t+1,若t在[-2,2]上变化时,y恒取正值,求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
的图象和函数
的图象的交点个数是
。
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x
2
+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范围是( )
A.(1,3)
B.(-∞,1)∪(3,+∞)
C.(1,2)
D.(3,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x
2
)<f(1+2x-x
2
),则x的取值范围是
.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
,
.
(1)若函数
在
上不具有单调性,求实数
的取值范围;
(2)若
.
(ⅰ)求实数
的值;
(ⅱ)设
,
,
,当
时,试比较
,
,
的大小.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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