已知二次函数满足，且对一切实数恒成立. 求；求的解析式；求证：

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知二次函数满足，且对一切实数恒成立. 求；
求的解析式；
求证：

答案

见解析

解析

【错解分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。
【正解】（1）由已知令得：
（2）令由得：即则对任意实数恒成立就是 对任意实数恒成立，即：
则
（3）由（2）知 故

故原不等式成立．
【点评】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。