设f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f(1)=0,g(x)=ax+b.(I)求证:函数f(x)与g(x)的图象有两个交点;(Ⅱ)设函数f(x)与g(x)
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f(1)=0,g(x)=ax+b. (I)求证:函数f(x)与g(x)的图象有两个交点; (Ⅱ)设函数f(x)与g(x)的图象的两个交点A、B在x轴上的射影为A1、B1,求|A1B1|的取值范围. |
答案
(I)∵f(1)=0 ∴a+b+c=0 ∵a>b>c ∴a>0,c<0 由ax2+bx+c=ax+b得ax2+(b-a)x+c-b=0, △=(b-a)2-4a(c-b)=(-a-c-a)2-4a(c+a+c)=c2-4ac ∵a>0,c<0 ∴△>0所以函数f(x)与g(x)的图象有两个交点. (II)由已知方程ax2+(b-a)x+c-b=0,两根为x1,x2, x1+x2==2+,x1x2==1+, |x1-x2|==== 由a+b+c=0,a>b>c得a>0,c<0,a>-a-c>c, 于是得到,-2<<-, ∴|x1-x2|∈(,2) 所以,|A1B1|的取值范围(,2). |
举一反三
已知f(x)=(x-a)(x-b)+1,并且α,β是方程f(x)=0的两根,则实数α,β,a,b的大小可能是( )A.α<a<β<b | B.a<α<b<β | C.a<α<β<b | D.α<a<b<β |
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函数f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1的定义域被分成了四个不同的单调区间,则实数a的取值范围是( ) |
函数f(x)=x2-4x+5在[0,m]上的最大值为5,最小值为1,则m的取值范围是______. |
已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)当x∈[-1,1]时,不等式:f(x)>2x+m恒成立,求实数m的范围. (3)设g(t)=f(2t+a),t∈[-1,1],求g(t)的最大值. |
若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围. |
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