已知函数f（x）=x2+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称．（1）求实数a的值； （2）利用单调性的定义证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x2+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称．
（1）求实数a的值；
（2）利用单调性的定义证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数． |
答案
（本小题满分12分）
（1）∵函数f（x）=x2+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴-=1，解得a=-2．…（3分）
（2）根据（1）可知 f （ x ）=x2-2x+b，
下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x1＞x2≥1，则f（x1）-f（x2）…（5分）
=（x12-2x1+b）-（x22-2x2+b）
=（x12-x22）-2（x1-x2）
=（x1-x2）（x1+x2-2）…（8分）
∵x1＞x2≥1，则x1-x2＞0，且x1+x2-2＞2-2=0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），…（11分）
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．…（12分） |
举一反三
| 设方程2x2-3x+1=0的两根x1，x2，不解方程，求|x1-x2|的值． |
| 已知函数f(x)=，若f（2-t2）＞f（t），则实数t的取值范围是______． |
| 若不等式x2-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，则实数a的最大值为（ ） |
| 二次函数f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2的图象与x轴的两个交点分别在开区间（0，1）与（1，2）上，求实数k的取值范围． |
已知二次函数f（x）=x2-8x+q2-q+1．
（1）若在区间[-1，1]上至少存在一点m，使f（m）＜0求实数q的范围．
（2）问是否存在常数t，若x∈[3，t]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为2t．（注：区间[a，b]的长度为b-a）． |
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