已知函数f（x）=x|x-2a|，a∈R．（1）当a=1时，解方程f（x）=0；（2）当0＜a＜3时，求函数y=f（x）在区间[0，7]的最大值g（a）；（3）
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x|x-2a|，a∈R．
（1）当a=1时，解方程f（x）=0；
（2）当0＜a＜3时，求函数y=f（x）在区间[0，7]的最大值g（a）；
（3）若函数y=f（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围． |
答案
（1）当a=1时，x|x-2|=0，解得x=0或x=2；…（2分）
（2）当x＜2a时，f（x）=x（2a-x）=-（x-a）2+a2；
当x≥2a时，f（x）=x（x-2a）=（x-a）2-a2．
∵0＜a＜3，对称轴x=a处于区间[0，7]的偏左部分，
由a2=7（7-2a），解得a=7（-1）…（6分）
∴g（a）= | | f(7)，0＜a＜7(-1) | | a2，7(-1)≤a＜3 |
| |
，
即g（a）= | | 49-14a，0＜a＜7(-1) | | a2，7(-1)≤a＜3 |
| |
…（10分）
（3）当a=0时，f（x）=x|x|，
在区间（m，n）既没有最大值也没有最小值，不符合题意． …（12分）
当a＞0时，由a2=x（x-2a）得x=（+1）a，
所以0≤m＜a，2a＜n≤（+1）a； …（14分）
当a＜0时，由-a2=x（2a-x）得x=（+1）a，
所以（+1）a≤m＜2a，a＜n≤0．…（16分） |
举一反三
下面命题正确的是______．
①存在实数α，使sinαcosα=1；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
③在△ABC中，若sinAsinB＞cosAcosB，则这个三角形是锐角三角形；
④函数y=cos2x+sinx的最小值是-1；
⑤若cosθ＜0且sinθ＞0，则是第一象限角． |
| 已知f(x)=(+sinx)(+cosx)+(sinx+1)(cosx+1)．求函数f（x）的最大值及取最大值时相应的x的值． |
已知函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab．当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=x2+2tanθ•x+b在区间[1，+∞）上单调，求θ的取值范围；
（3）不等式（t-2）f（x）≥t2+（m-2）t-2m+2对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取范围． |
二次函数y=-2x2+4x+1的对称轴和顶点坐标分别是（ ）| A．x=-1，（1，3） | B．x=-1，（-1，3） | C．x=1，（-1，3） | D．x=1，（1，3） |
|
| 若函数f（x）=x2-2ax+3在区间（-∞，-1）上是减少的，在区间（1，+∞）上是增加的，则实数a的取值范围是 ． |
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