(1)当a=2时,g(x)=(x-1)2+,x∈[0,3], 当x=1时,gmin(x)=g(1)=;当x=3时,gmax(x)=g(3)=, 故g(x)值域为[,]. (2)f"(x)=lnx+1,当x∈(0,),f"(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(,+∞),f"(x)>0,f(x)单调递增. ①若 0<t<t+2<,t无解; ②若 0<t<<t+2,即0<t<时,f(x)min=f()=-; ③若 ≤t<t+2,即t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt, 所以 f(x)min=. (3)证明:令 h(x)=-=-,h′(x)=, 当 0<x<1时,h′(x)>0,h(x)是增函数.当1<x时. h′(x)<0,h(x)是减函数, 故h(x) 在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-. 而由(2)可得,f(x)=xlnx在(0,+∞)上的最小值为-, 且当h(x) 在(0,+∞)上的最大值为h(1)时,f(x)的值为ln1=0, 故在(0,+∞)上恒有f(x)>h(x),即 xlnx>-. |