已知二次函数f(x)=a2x2-x-a(a>0)(I)若f(x)满足条件f(1-x)=f(1+x),试求f(x)的解析式;(II)若函数f(x)在区间[2,2]
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已知二次函数f(x)=a2x2-x-a(a>0)(I)若f(x)满足条件f(1-x)=f(1+x),试求f(x)的解析式;(II)若函数f(x)在区间[2,2]
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知二次函数
f(x)=
a
2
x
2
-x-a(a>0)
(I)若f(x)满足条件f(1-x)=f(1+x),试求f(x)的解析式;
(II)若函数f(x)在区间
[
2
,2]
上的最小值为h(a),试求h(a)的最大值.
答案
(I)∵f(x)满足条件f(1-x)=f(1+x),
∴f(x)图象的对称轴是x=1,
即:
1
a
=1
,a=1,∴f(x)的解析式为:
1
2
x
2
-x-1;
(II)∵f(x)图象的对称轴是x=
1
a
>0,
①当0<
1
a
<
2
时,即a
>
2
2
时,函数f(x)在区间
[
2
,2]
上为增函数
当x=
2
时,该函数取最小值h(a)=-
2
;
②当
2
≤
1
a
≤2时,即
1
2
≤
a
≤
2
2
时,
当x=
1
a
时,该函数取最小值h(a)=-
1
2a
-a;
③当
1
a
>2时,即a
<
1
2
时,函数f(x)在区间
[
2
,2]
上为减函数
当x=2时,该函数取最小值h(a)=a-2;
综上,函数的最小值为
h(a)=
a-2 a<
1
2
-
1
2a
-a
1
2
≤a≤
2
2
-
2
,a>
2
2
(8分)
当a=
1
2
时h(a)
max
=
3
2
(12分)
举一反三
函数f(x)=ax
2
+4x-3,当x∈[0,2]时在x=2取得最大值,求a的取值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设a>b>c>0,则
2
a
2
+
1
ab
+
1
a(a-b)
-12ac+36
c
2
最小值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)=3x
2
+12x-15.
(1)求f(x)的零点;(2)求f(x)在[-3,3]上的最值;(3)证明f(x)在[-2,+∞)上是增函数.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设0<a<
1
2
,f(x)=2•x
2
-3•x,则f(a)与f(1-a)的大小关系是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
2
+2ax+2.
①若函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),求函数在x∈[-5,5]的最大值和最小值;
②若函数f(x)有两个正的零点,求a的取值范围;
③求f(x)在x∈[-5,5]的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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