已知函数f(x)=x2+2ax+2.①若函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),求函数在x∈[-5,5]的最大值和最小值;②若函数f(x)有两个正的零点,求

已知函数f(x)=x2+2ax+2.①若函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),求函数在x∈[-5,5]的最大值和最小值;②若函数f(x)有两个正的零点,求

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2+2ax+2.
①若函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),求函数在x∈[-5,5]的最大值和最小值;
②若函数f(x)有两个正的零点,求a的取值范围;
③求f(x)在x∈[-5,5]的最小值.
答案
(1)由f(x+1)=f(1-x)得(x+1)2+2a(x+1)+2=(1-x)2+2a(1-x)+2
即4(1+a)x=0对任意x∈R恒成立
∴a=-1
∴f(x)=x2-2x+2,x∈[-5,5],
∵f(x)=(x-1)2+1,
∴f(x)在[-5,1]上单调递减,在[1,5]上单调递增
∴f(x)max=f(-5)=37,
∴f(x)min=f(1)=1
(2)设方程x2+2ax+2=0的两根为x1,x2,则





△=4a2-8≥0
x1+x2=-2a>0
x1x2=2>0

解得:a≤-


2

(3)对称轴方程为x=-a
当-a<-5,即a>5时,f(x)在[-5,5]上单调递增,∴f(x)min=f(-5)=27-10a;
当-5≤-a≤5,即-5≤a≤5时,f(x)在[-5,-a]上单调递减,在[-a,5]上单调递增
f(x)min=f(-a)=2-a2
当-a>5,即a<-5时,f(x)在[-5,5]上单调递减
∴f(x)min=f(5)=27+10a
综上:f(x)min=





27+10a,a<-5
2-a2,-5≤a≤5
27-10a,a>5
举一反三
已知函数f(x)=x2-2ax+1,(x∈N+)是增函数,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+(4a-2)x+1(x∈[a,a+1])的最小值为g(a).求函数y=g(a)的解析式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=|x2-6|,若a<b<0,且f(a)=f(b),则a2b的最小值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在区间[
1
4
 2]
上的最大值为1,最小值为m,且函数g(x)=(m+1)x2在区间[0,+∞)上是增函数,则a=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知二次函数f(x)满足条件
(1)f(1+x)=f(1-x);
(2)f(x)的最大值为15;
(3)二次项系数为-6.求f(x)的解析式.
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