已知函数f(x)=2x2+ax-1,g(log2x)=x2-x2a-2.(1)求函数g(x)的解析式,并写出当a=1时,不等式g(x)<8的解集;(2)若f(x

已知函数f(x)=2x2+ax-1,g(log2x)=x2-x2a-2.(1)求函数g(x)的解析式,并写出当a=1时,不等式g(x)<8的解集;(2)若f(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2x2+ax-1,g(log2x)=x2-
x
2a-2

(1)求函数g(x)的解析式,并写出当a=1时,不等式g(x)<8的解集;
(2)若f(x)、g(x)同时满足下列两个条件:①∃t∈[1,4]使f(-t2-3)=f(4t) ②∀x∈(-∞,a],g(x)<8.
求实数a的取值范围.
答案
(1)令t=log2t,则x=2t
∴g(t)=(2t2-
2t
2a-2
=(2t2-
4
2a
2t
,即g(x)=(2x2-
4
2a
2t

当a=1时,不等式g(x)<8,即(2x2-2•2x-8<0.
∴2x<4,解得x<2.
∴不等式g(x)<8的解集是{x|x<2}.
(2)①由题意,-
a
4
=
-t2-3+4t
2
,即a=2(t2-4t+3)=2(t-2)2-2,
由t∈[1,4],得a∈[-2,6].
②由题意,(2x)2-
4
2a
2x<8
在x∈(-∞,a]上恒成立.
4
2a
2x-
8
2x
在x∈(-∞,a]上恒成立.
令μ=2x,则μ∈(0,2a],∴
4
2a
>μ-
8
μ

∵函数h(μ)=μ-
8
μ
在(0,2a]上为增函数,
hmax(μ)=h(2a)=2a-
8
2a

4
2a
2a-
8
2a
,解得2a<2


3

∴a<log22


3

综合①②,符合条件的实数a的取值范围是{a|-2≤a<log22


3
}.
举一反三
若对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=x2-2(2a-1)x+8(a∈R).
(1)若f(x)在[2,+∞)的最小值为6,求a的值.
(2)若f(x)在[a,+∞)上为单调递增函数,且f(x)>0,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义算式⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意x都成立,则实数a的取值范围是(  )
A.-1<a<1B.0<a<2C.-
3
2
<a<
1
2
D.-
1
2
<a<
3
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},同时满足:①A∩B≠∅;②-2∈A(p,q≠0),求p,q的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知A为三角形的一个内角,函数y=x2cosA-4xsinA+6,对于∀x∈R都有y>0,则角A的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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