对一切实数x,所有的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值均为非负实数,则b-aa+b+c的最大值是______.
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对一切实数x,所有的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值均为非负实数,则b-aa+b+c的最大值是______.
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
对一切实数x,所有的二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a<b)的值均为非负实数,则
b-a
a+b+c
的最大值是______.
答案
设b-a=k,则b=a+k,依题意有b>a>0,b
2
≤4ac,即(a+k)
2
≤4ac,即
c≥
(a+k)
2
4a
.
故
b-a
a+b+c
=
k
2a+k+c
≤
k
2a+k+
(a+k)
2
4a
=
k
9a
4
+
3k
2
+
k
2
4a
=
1
k
4a
+
9a
4k
+
3
2
≤
1
2
k
4a
•
9a
4k
+
3
2
=
1
2×
3
4
+
3
2
=
1
3
.
当且仅当
k
4a
=
9a
4k
c=
(a+k)
2
4a
,即b=c=4a时取等号.
故答案为:
1
3
.
举一反三
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c满足条件:f(2)=f(0)=0,且方程f(x)=x有两个相等实根.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]?如果存在,求出m、n的值;如果不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知向量
a
=(
1
2
x,x-4),向量
b
=(x,
3
2
x),x∈[-4,5]
(Ⅰ)试用x表示
a
•
b
;
(Ⅱ)求
a
•
b
的最大值,并求此时的cos<
a
、
b
>.(<
a
、
b
>表示两向量的夹角)
题型:解答题
难度:一般
|
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定义在R1的函数f(x)满足:如果对任意x
1
,x
2
∈R,都有
f(
x
1
+
x
2
2
)≤
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]
,则称f(x)是R1凹函数.已知二次函数f(x)=ax
2
+x(a∈R,且a≠0).
(1)求证:当a>0时,函数f(x)的凹函数;
(2)如果x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,试求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知样本80,82,84,86,88的方差为s
2
,且关于x的方程x
2
-(k+1)x+k-3=0的两根的平方和恰好是s
2
,则k=______.
题型:填空题
难度:一般
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已知函数f(x)=x
2
-2x+b在区间(2,4)内有唯一零点,则b的取值范围是( )
A.R
B.(-∞,0)
C.(-8,+∞)
D.(-8,0)
题型:单选题
难度:一般
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