已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1.(1)求证:|b|≤1;(2)若f(0)=-1,f(1)=1,
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1. (1)求证:|b|≤1; (2)若f(0)=-1,f(1)=1,求f(x)的表达式. |
答案
证明:(1)由已知得|f(-1)|=|a-b+c|≤1,|f(1)|=|a+b+c|≤1 ∴|2b|=|f(1)-f(-1)|≤|f(1)|+|f(-1)|≤2 ∴|b|≤1 (2)若-<-1,则f(x)在[-1,1]为增函数, ∴f(-1)<f(0),f(0)=-1 ∴|f(-1)|>1与|f(-1)|≤1矛盾; 若->1,则f(x)在[-1,1]为减函数, ∴f(1)<f(0)与已知矛盾. 所以-∈[-1,1],从而由解得 ∴f(x)=2x2-1 |
举一反三
已知函数f(x)=ax2+bx-1(a,b为实数),x∈R, (1)若不等式f(x)>2的解集为{x|x<-3或x>1},求f(x)在区间[-2,3)的值域; (2)在(1)的条件下,当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围. |
设函数f(x)=x2+2x-1,若a<b<1且f(a)=f(b) 则ab+a+b的取值范围为______. |
若不等式ax2-2ax+1>0 对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围为( )A.a≤0或a≥4 | B.a≤0或a>1 | C.0≤a<1 | D.0≤a≤4 |
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对一切实数x,所有的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值均为非负实数,则的最大值是______. |
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件:f(2)=f(0)=0,且方程f(x)=x有两个相等实根. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]?如果存在,求出m、n的值;如果不存在,说明理由. |
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