设二次函数y=f(x) 的图象的顶点坐标为(1,1),且f(-1)=3.(1)求f(x) 的解析式;(2)设区间A=[1,m],若x∈A时,恒有f(x)∈A,求
题型:解答题难度:一般来源:不详
设二次函数y=f(x) 的图象的顶点坐标为(1,1),且f(-1)=3. (1)求f(x) 的解析式; (2)设区间A=[1,m],若x∈A时,恒有f(x)∈A,求m 的取值范围. |
答案
(1)由题意,设f(x)=a(x-1)2+1(a≠0),…(3分) 由(-1)=a(-1-1)2+1=3,解得a=,…(6分) ∴f(x)=(x-1)2+1. …(7分) (2)由(1)知,f(x)=(x-1)2+1 在[1,m]上是单调增函数, ∴当x∈A时,f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(m)=(m-1)2+1.…(9分) 若x∈A时,恒有f(x)∈A,则f(m)=(m-1)2+1≤m,…(11分) ∴m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3 …(13分) 又m>1,∴m 的取值范围是(1,3]. …(14分) |
举一反三
已知二次函数f(x)=mx2-2x+m其中实数m为常数. (1)求m的值,使函数f(x)的图象在x=0处的切线l与圆C:x2+y2-4x-2y=0也相切. (2)当m>0时,求关于x的不等式f(x)≤0的解集M. |
设f(x)=x2+mx+n,f(-1)=-1. (Ⅰ)求证:方程f(x)=0有两个不相等的实根; (Ⅱ)若f(0)•f(1)<0,求m的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,求证:2<|x1-x2|<. |
如果二次函数f(x)=3x2+bx+1在(-∞,- ]上是减函数,在[-,+∞)上是增函数,则f(x)的最小值为______. |
已知二次函数f(x)=ax2-bx+1. (1)若f(x)<0的解集是(,),求实数a,b的值; (2)若a为正整数,b=a+2,且函数f(x)在[0,1]上的最小值为-1,求a的值. |
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