设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),(1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求f(x)表达式;(2)在(1)的条件下,g(x)=f
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R), (1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求f(x)表达式; (2)在(1)的条件下,g(x)=f(x)-16x(x∈[m,10],其中常数m>0),区间D为g(x)的值域,若D的长度为23-2m,求此时m的值. |
答案
(本题12分) (1)∵f(-1)=0,∴b=a=1, 由f(x)≥0恒成立,知a>0,且△=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0, ∴a=1. ∴f(x)=x2+2x+1.(3分) (2)∵g(x)=f(x)-16x(x∈[m,10],其中常数m>0),区间D为g(x)的值域, D的长度为23-2m, ∴g(x)=x2-14x+1,23-2m=g(x)max-g(x)min,(5分) ①当m∈[7,10)时,23-2m=g(10)-g(t)=-m2+16m,得:m=7或9.(7分) ②当m∈[4,7)时,23-2m=g(10)-g(7),得m=7(舍).(9分) ③当m∈(0,4)时,23-2m=g(m)-g(7),m2-12m+26=0, 解得:m=(舍)或m==6-.(11分) 综合得m=6-,或m=7,或m=9.(12分) |
举一反三
若函数f(x)=x2+(a+2)x+b,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则f(x)的最大值为______. |
已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则a+d的最小值等于( ) |
已知m∈R,f(x)=32x+1+(m-1)(3x+1-1)-(m-3)•3x. (1)m=4时,求解方程f(x)=0; (2)若f(x)=0有两不等实根,求m的取值范围; (3)m=4时,若f(x)≥a恒成立,求a的取值范围. |
假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a,那么广告效应D=a-A,当A=______时,取得最大广告效应,此时收入R=______. |
已知x∈[-3,2],求函数f(x)=-+1的最小值和最大值. |
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