设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:(Ⅰ)a>0且-2<ba<-1;(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个
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设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:(Ⅰ)a>0且-2<ba<-1;(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个
题型:解答题
难度:一般
来源:浙江
设f(x)=3ax
2
+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:
(Ⅰ)a>0且
-2<
b
a
<-1
;
(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
答案
证明:(I)因为f(0)>0,f(1)>0,
所以c>0,3a+2b+c>0.
由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;
由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0.
故
-2<
b
a
<-1
.
(II)抛物线f(x)=3ax
2
+2bx+c的顶点坐标为
(-
b
3a
,
3ac-
b
2
3a
)
,
在
-2<
b
a
<-1
的两边乘以
-
1
3
,得
1
3
<-
b
3a
<
2
3
.
又因为f(0)>0,f(1)>0,
而
f(-
b
3a
)=-
a
2
+
c
2
-ac
3a
<0
,
所以方程f(x)=0在区间
(0,-
b
3a
)
与
(-
b
3a
,1)
内分别有一实根.
故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
举一反三
已知函数f(x)=-x
2
+ax-3在区间(-∞,-2]上是增函数,则a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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如果f(x)=x
2
+bx+c对任意实数t都有f (3+t)=f (3-t),那么( )
A.f(3)<f(1)<f(6)
B.f(1)<f(3)<f(6)
C.f(3)<f(6)<f(1)
D.f(6)<f(3)<f(1)
题型:单选题
难度:简单
|
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若方程x
2
-(m+1)x+4=0在(0,3]上有两个不相等的实数根,则m的取值范围为( )
A.(3,
10
3
)
B.[3,
10
3
)
C.[3,
10
3
]
D.(3,
10
3
]
题型:单选题
难度:简单
|
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已知直线l:y=k (x+2
2
)与圆O:x
2
+y
2
=4相交于A、B两点,O是坐标原点,三角形ABO的面积为S.
(Ⅰ)试将S表示成的函数S(k),并求出它的定义域;
(Ⅱ)求S的最大值,并求取得最大值时k的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
5
=35,点A(3,a
3
)与B(5,a
5
)都在斜率为-2的直线l上,则使S
n
取得最大值的n值为( )
A.6
B.7
C.5,6
D.7,8
题型:单选题
难度:一般
|
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