已知a=(1-cosx,2sinx2),b=(1+cosx,2cosx2)(1)若f(x)=2+sinx-14|a-b|2,求f(x)的表达式.(2)若函数f(
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已知a=(1-cosx,2sinx2),b=(1+cosx,2cosx2)(1)若f(x)=2+sinx-14|a-b|2,求f(x)的表达式.(2)若函数f(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知
a
=(1-cosx,2sin
x
2
),
b
=(1+cosx,2cos
x
2
)
(1)若
f(x)=2+sinx-
1
4
|
a
-
b
|
2
,求f(x)的表达式.
(2)若函数f(x)和函数g(x)的图象关于原点对称,求g(x)的解析式.
(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在
[-
π
2
,
π
2
]
上是增函数,求实数λ的取值范围.
答案
解(1):
f(x)=2+sinx-
1
4
[4co
s
2
x+4(sin
x
2
-cos
x
2
)
2
]
,
=2+sinx-cos
2
x-1+sinx=sin
2
x+2sinx
(2):设函数y=f(x)的图象上任一点M(x
0
,y
0
)
关于原点的对称点为N(x,y)
则x
0
=-x,y
0
=-y,
∵点M在函数y=f(x)的图象上
∴-y=sin
2
(-x)+2sin(-x),即y=-sin
2
x+2sinx
∴函数g(x)的解析式为g(x)=-sin
2
x+2sinx
(3)∵h(x)=-(1+λ)sin
2
x+2(1-λ)sinx+1,
设sinx=t,
∵x∈
[-
π
2
,
π
2
]
∴-1≤t≤1,
则有h(t)=-(1+λ)t
2
+2(1-λ)t+1(-1≤t≤1).
①当λ=-1时,h(t)=4t+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1,
②当λ≠-1时,对称轴方程为直线
t=
1-λ
1+λ
ⅰ) λ<-1时,
1-λ
1+λ
≤-1
,解得λ<-1
ⅱ)当λ>-1时,
1-λ
1+λ
≥1
,解得-1<λ≤0综上,λ≤0.
举一反三
二次函数f(x)满足f(4+x)=f(-x),且f(2)=1,f(0)=3,若f(x)在[0,m]上有最小值1,最大值3,则实数m的取值范围是( )
A.[2,4]
B.(0,2]
C.(0,+∞)
D.[2,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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若不等式x
2
+x+a>0在x∈[-2,-1]上恒成立,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设x∈R,且a=3x
2
-x+1,b=2x
2
+x-1,则a与b的大小关系为( )
A.a>b
B.a=b
C.a<b
D.不确定,与x取值有关
题型:单选题
难度:简单
|
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函数f(x)=2x
2
-6x+1在区间[-1,1]上的最小值为( )
A.9
B.-3
C.
7
4
D.
11
4
题型:单选题
难度:简单
|
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二次函数f(x)=ax
2
-2(a-1)x+2在区间(4,+∞)内是减函数,则实数a的取值范围为( )
A.
a≥
1
3
B.
a≤-
1
3
C.
a≥-
1
3
且a≠0
D.a=-3
题型:单选题
难度:简单
|
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