(Ⅰ)当a=0时,f(x)=-x+c. 由f(1)=0得:-+c=0,即c=,∴f(x)=-x+. 显然x>1时,f(x)<0,这与条件②相矛盾,不合题意. ∴a≠0,函数f(x)=ax2-x+c是二次函数. …(2分) 由于对一切x∈R,都有f(x)≥0,于是由二次函数的性质可得 即(*)…(4分) 由f(1)=0得 a+c=,即c=-a,代入(*)得 a(-a)≥. 整理得 a2-a+≤0,即(a-)2≤0. 而(a-)2≥0,∴a=. 将a=代入(*)得,c=, ∴a=c=. …(7分) 另(Ⅰ)当a=0时,f(x)=-x+c. 由f(1)=0得 -+c=0,即c=, ∴f(x)=-x+. 显然x>1时,f(x)<0,这与条件②相矛盾, ∴a≠0,因而函数f(x)=ax2-x+c是二次函数. …(2分) 由于对一切x∈R,都有f(x)≥0,于是由二次函数的性质可得 即 …(4分) 由此可知 a>0,c>0, ∴ac≤()2. 由f(1)=0,得 a+c=,代入上式得 ac≤. 但前面已推得 ac≥, ∴ac=. 由 解得 a=c=. …(7分) (Ⅱ)∵a=c=,∴f(x)=x2-x+. ∴g(x)=f(x)-mx=x2-(+m)x+. 该函数图象开口向上,且对称轴为x=2m+1. …(8分) 假设存在实数m使函数g(x)=f(x)-mx=x2-(+m)x+在区间[m,m+2]上有最小值-5. ①当m<-1时,2m+1<m,函数g(x)在区间[m,m+2]上是递增的, ∴g(m)=-5, 即 m2-(+m)m+=-5, 解得 m=-3或m=. ∵>-1,∴m=舍去. …(10分) ②当-1≤m<1时,m≤2m+1<m+1,函数g(x)在区间[m,2m+1]上是递减的,而在区间[2m+1,m+2]上是递增的, ∴g(2m+1)=-5, 即 (2m+1)2-(+m)(2m+1)+=-5. 解得 m=--或m=-+,均应舍去. …(12分) ③当m≥1时,2m+1≥m+2,函数g(x)在区间[m,m+2]上是递减的, ∴g(m+2)=-5, 即 (m+2)2-(+m)(m+2)+=-5. 解得 m=-1-2或m=-1+2,其中m=-1-2应舍去. 综上可得,当m=-3或m=-1+2时,函数g(x)=f(x)-mx在区间[m,m+2]上有最小值-5. …(14分) |