已知函数f（x）=x2+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-λf（x），试问，是否存在实数λ，使得G（x）在（-∞，-1]上为减函数，并且在（-
题型：解答题难度：一般来源：不详
| 已知函数f（x）=x2+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-λf（x），试问，是否存在实数λ，使得G（x）在（-∞，-1]上为减函数，并且在（-1，0）上为增函数． |
答案
g（x）=f[f（x）]=f（x2+1）=（x2+1）2+1=x4+2x2+2．
G（x）=g（x）-λf（x）=x4+2x2+2-λx2-λ=x4+（2-λ）x2+（2-λ），G（x1）-G（x2）=[x14+（2-λ）x12+（2-λ）]-[x24+（2-λ）x22+（2-λ）]=（x1+x2）（x1-x2）[x12+x22+（2-λ）]
由题设当x1＜x2＜-1时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＞1+1+2-λ=4-λ，
则4-λ≥0，λ≤4当-1＜x1＜x2＜0时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＜1+1+2-λ=4-λ，
则4-λ≤0，λ≥4故λ=4． |
举一反三
| 二次函数y=ax2+2ax+1在区间[-3，2]上最大值为4，则a等于______． |
已知函数f（x）=-a2x-2ax+1（a＞1）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值． |
已知函数f（x）=ax2+x+1（a∈R）
（Ⅰ）若a∈（0，]，求解关于x的不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若方程f（x）=0至少有一个负根，求a的取值范围． |
| 若函数f（x）=x2-2x+m在区间[2，+∞）上的最小值为-3，则实数m的值为______． |
已知函数f（x）=sin2x-cos2x+3sinx-1；
（1）求f（x）的值域；
（2）求不等式f（x）≥0的解集． |
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