已知f(x)=x2-ax,x∈[1,+∞).(1)求f(x)的最小值g(a);(2)求函数h(a)=g(a)-a2的最大值;(3)写出函数h(a)的单调减区间.

已知f(x)=x2-ax,x∈[1,+∞).(1)求f(x)的最小值g(a);(2)求函数h(a)=g(a)-a2的最大值;(3)写出函数h(a)的单调减区间.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=x2-ax,x∈[1,+∞).
(1)求f(x)的最小值g(a);
(2)求函数h(a)=g(a)-a2的最大值;
(3)写出函数h(a)的单调减区间.
答案
f(x)=(x-
a
2
)
2
-
a2
4

(1)当
a
2
1时,函数在[1,+∞)上单调增,∴f(x)的最小值g(a)=f(1)=1-a;
a
2
1时,f(x)的最小值g(a)=f(
a
2
)=-
a2
4

综上知,f(x)的最小值g(a)=





1-a,a<2
-
a2
4
,a≥2

(2)h(a)=g(a)-a2=





1-a-a2,a<2
-
5a2
4
,a≥2

当a<2时,h(a)=1-a-a2=-(a+
1
2
)
2
+
5
4
5
4

当a≥2时,h(a)=-
5a2
4
≤-5

∴函数h(a)=g(a)-a2的最大值为
5
4

(3)由(2)知,函数h(a)的单调减区间为[-
1
2
,+∞)
举一反三
设二次函数f(x)=x2+x+c(c>0).若f(x)=0有两个实数根x1,x2(x1<x2).
(Ⅰ)求正实数c的取值范围;
(Ⅱ)求x2-x1的取值范围;
(Ⅲ)如果存在一个实数m,使得f(m)<0,证明:m+1>x2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,a,b,c∈R)且2a+b>0,则f(e)______f(π)(填“<”或”>”)
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数y=x2+2x-3的定义域为[m,0]值域为[-4,-3],则m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
二次函数f(x)的图象顶点为A(1,16),且图象在x轴上截得线段长为8.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=(2-2a)x-f(x);
①若函数g(x)在x∈[0,2]上是单调增函数,求实数a的取值范围;
②求函数g(x)在x∈[0,2]的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
如果函数y=x2+ax-1在闭区间[0,3]上有最小值-2,那么a的值是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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