已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[-2，1]时，y=f（x）
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，1]时，y=f（x）的图象恒在y=-x+m的图象上方，求实数m的取值范围． |
答案
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∵f（0）=1，可得 c=1．
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，∴a=-1，b=2，所以f（x）=-x2+2x+1．
（2）由题意-x2+2x+1≥-x+m在x∈[-2，1]上恒成立，即m≤-x2+3x+1在x∈[-2，1]上恒成立．
令g（x）=-x2+3x+1易知g（x）在x∈[-2，1]上为增函数，则g（x）min=g（-2）=-9，所以m≤-9，
即实数m的取值范围为（-∞，-9]． |
举一反三
已知二次函数f（x）=x2+2（p-2）x+p，若在区间[0，1]内至少存在一个实根c，使f（c）＞0，则实根p的取值范围是（ ）| A．（1，4） | B．（1，+∞） | C．（0，+∞） | D．（0，1） |
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| 若函数f（x）=2x2+mx在（1，3）上单调递增，则m的取值范围为______． |
| 已知函数f（x）=x2+2ax+3在（-∞，4）上是减函数，则a的范围是______． |
已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． |
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