已知f(x)是二次函数,对任意x∈R都满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[-2,1]时,y=f(x)

已知f(x)是二次函数,对任意x∈R都满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[-2,1]时,y=f(x)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是二次函数,对任意x∈R都满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[-2,1]时,y=f(x)的图象恒在y=-x+m的图象上方,求实数m的取值范围.
答案
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=1,可得 c=1.
又f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=-2x+1,∴a=-1,b=2,所以f(x)=-x2+2x+1.
(2)由题意-x2+2x+1≥-x+m在x∈[-2,1]上恒成立,即m≤-x2+3x+1在x∈[-2,1]上恒成立.
令g(x)=-x2+3x+1易知g(x)在x∈[-2,1]上为增函数,则g(x)min=g(-2)=-9,所以m≤-9,
即实数m的取值范围为(-∞,-9].
举一反三
二次函数y=(x-1)2+2的最小值是(  )
A.-2B.2C.-1D.1
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已知二次函数f(x)=x2+2(p-2)x+p,若在区间[0,1]内至少存在一个实根c,使f(c)>0,则实根p的取值范围是(  )
A.(1,4)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(0,1)
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若函数f(x)=2x2+mx在(1,3)上单调递增,则m的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+2ax+3在(-∞,4)上是减函数,则a的范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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