已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3) (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. |
答案
(1)∵f(x)=log4(ax2+2x+3)且f(1)=1, ∴log4(a•12+2×1+3)=1⇒a+5=4⇒a=-1 可得函数f(x)=log4(-x2+2x+3) ∵真数为-x2+2x+3>0⇒-1<x<3 ∴函数定义域为(-1,3) 令t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 可得:当x∈(-1,1)时,t为关于x的增函数; 当x∈(1,3)时,t为关于x的减函数. ∵底数为4>1 ∴函数f(x)=log4(-x2+2x+3)的单调增区间为(-1,1),单调减区间为(1,3) (2)设存在实数a,使f(x)的最小值为0, 由于底数为4>1,可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立, 且真数t的最小值恰好是1, 即a为正数,且当x=-=-时,t值为1. ∴⇒⇒a= 因此存在实数a=,使f(x)的最小值为0. |
举一反三
对于二次三项式x2-10x+36,小明得出如下结论:无论x取什么实数,其值都不可能等于10.您是否同意他的看法?请您说明理由. |
函数y=-x2-4x-7的顶点坐标为( )A.(2,-3) | B.(-2,3) | C.-2,-3) | D.(2,3) |
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已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),若f(x)的最大值为正数,则实数a的取值范围是______. |
已知f(x)=(a+1)x2+3x+1,若函数f(x)在区间(0,1)上恰有一个零点,则a的取值范围为( ) |
已知函数f(x)=x2-2x-1,x∈[-1,1],则f(x)max=______,f(x)min=______. |
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