已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），若f（x）的最大值为正数，则实数a的取值范围是______．
题型：填空题难度：一般来源：不详
| 已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），若f（x）的最大值为正数，则实数a的取值范围是______． |
答案
设f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-2x两个根是1，3，
即ax2+（b+2）x+c=0两个根是1，3．
∴⇒b=-4a-2，c=3a
又f（x）的最大值为正数，即 ＞0
消去b，c得到关于a不等式a（a2+4a+1）＜0，因为a＜0，
解得-2-＞a或0＞a＞-2+．
故答案为：-2-＞a或0＞a＞-2+ |
举一反三
| 已知f（x）=（a+1）x2+3x+1，若函数f（x）在区间（0，1）上恰有一个零点，则a的取值范围为（ ） |
| 已知函数f（x）=x2-2x-1，x∈[-1，1]，则f（x）max=______，f（x）min=______． |
| 如果函数f（x）=（a-3）x2+（a-3）x+1的图象在x轴的上方（不含在x轴上），则实数a的取值范围是______． |
| 已知二次函数f（x），且f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，则f（x）=______． |
已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1．
（1）若f（1）=3，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[-1，1]时，求函数f（x）的最小值g（a）． |
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