已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若f(1)=3,求实数a的值;(2)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围;(3)当x∈[
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若f(1)=3,求实数a的值; (2)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围; (3)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a). |
答案
(1)∵f(x)=x2-2ax+a2-1. 又∵f(1)=3, 即1-2a+a2-1=3 即a2-2a-3=0 解得a=-1,或a=3 (2)∵函数f(x)=x2-2ax+a2-1的图象是开口向上,且以x=a为对称轴的抛物线 又∵函数f(x)在区间[0,2]上是单调的, 则区间[0,2]在对称轴的同一侧 故a≤0或a≥2 (3)当a≤-1时,函数在[-1,1]为增函数,此时函数f(x)的最小值g(a)=f(-1)=a2+2a 当-1<a<1时,函数在[-1,a]上递减,在[a,1]为增函数,此时函数f(x)的最小值g(a)=f(a)=-1 当a≥1时,函数在[-1,1]为减函数,此时函数f(x)的最小值g(a)=f(1)=a2-2a 故g(a)= | a2+2a,a≤-1 | 1,-1<a<1 | a2-2a,a≥1 |
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举一反三
若函数f(x)=x2+bx+c满足f(-1)=f(3),则( )A.f(1)>c>f(-1) | B.f(1)<c<f(-1) | C.c>f(-1)>f(1) | D.c<f(-1)<f(1) |
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若函数f(x)=x2+(a+2)x,x∈[a,b]的图象关于直线x=-对称,则a=______,b=______. |
已知函数f(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞). (1)当a=时,求函数f(x)的最小值; (2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=-+x,x∈[m,n](m<n),问是否存在实数m,n,使得函数f(x)的值域为[2m,n],若存在,求出m,n的值,若不存在,说明理由. |
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