已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0),设关于x的方程f(x)=0的两实数根为x1,x2,f(x)=x的两实根为α,β,且|α-β|=1.(1)若a,b均

已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0),设关于x的方程f(x)=0的两实数根为x1,x2,f(x)=x的两实根为α,β,且|α-β|=1.(1)若a,b均

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0),设关于x的方程f(x)=0的两实数根为x1,x2,f(x)=x的两实根为α,β,且|α-β|=1.
(1)若a,b均为负整数,求f(x)解析式;
(2)若α<1<β,求(x1+a)(x2+a)的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=x,
∴ax2+4x+b=x,由题意知,





α+β=-
3
a
 
αβ=
b
a
 
|α-β|=1

∴a2+4ab-9=0;
∵a、b均为负整数,a2+4ab-9=0,
∴a(a+4b)=9,解得a=-1,b=-2.
∴f(x)=-x2+4x-2
(2)令g(x)=ax2+3x+b,
由于关于x的方程f(x)=0的两实数根为x1,x2,则





x1+x2=-
4
a
x1x2=
b
a

所以(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2=
b
a
+a2-4
 
=
9-a2
4a2
+a2-4=
9
4a2
+a2-
17
4

由α<1<β,且|α-β|=1得,0<α<1<β<2,
所以





g(0)<0 
g(1)>0 
g(2)<0 
a<0 
4ab=9-a2 
 

解得-3<a<-1,即1<a2<9,
由函数y(t)=
9
4t
+t
在(0,
3
2
)上单调递减,在(
3
2
,+∞)
单调递增,
而t=a2∈(1,9),则y(t)∈[3,
37
4
),故所求取值范围为[-
5
4
,5)
举一反三
已知函数f(x)=|x2-4x+3|,则其增区间为______若方程f(x)=m有4个不等的实根,则m的范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象是(  )
A.
魔方格
B.
魔方格
C.
魔方格
D.
魔方格
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点为F1、F2,过点F1斜率为正数的直线交Γ与A、B两点,且AB⊥AF2,|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列.
(Ⅰ)求Γ的离心率;
(Ⅱ)若直线y=kx(k<0)与Γ交于C、D两点,求使四边形ABCD面积S最大时k的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知0<x<
1
2
,函数y=x(1-2x)的最大值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若a>1,则函数y=ax与y=(1-a)x2的图象可能是下列四个选项中的(  )
A.
魔方格
B.
魔方格
C.
魔方格
D.
魔方格
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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