(1)∵抛物线y2=p(x+1)的准线方程是x=-1- ∵直线x+y=m与x轴的交点为(m,0)在准线右边 ∴m>-1- ∴m>-1-,即4m+p+4>0. 由 得x2-(2m+p)x+(m2-p)=0. 而判别式△=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4). 又p>0及4m+p+4>0,可知△>0. 因此,直线与抛物线总有两个交点; …(4分) (2)设Q、R两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 由(1)知,x1、x2是方程x2-(2m+p)x+m2-p=0的两根, ∴x1+x2=2m+p,x1•x2=m2-p.由OQ⊥OR,得kOQ•kOR=-1, 即有x1x2+y1y2=0.又Q、R为直线x+y=m上的点, 因而y1=-x1+m,y2=-x2+m. 于是x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0, ∴p=f(m)=,由得m>-2,m≠0;…(9分) (3)解法一:由于原点O到直线x+y=m的距离不大于,于是≤, ∴|m|≤1.由(2),知m>-2且m≠0 故m∈[-1,0)∪(0,1]. 由(2),知f(m)==(m+2)+-4qqqq1q 当m∈[-1,0)时,任取m1、m2,0>m1>m2≥-1,则 f(m1)-f(m2)=(m1-m2)+(-) =(m1-m2)[1-]. 由0>m1>m2≥-1,知0<(m1+2)(m2+2)<4,1-<0. 又由m1-m2>0知f(m1)<f(m2)因而f(m)为减函数. 可见,当m∈[-1,0)时,p∈(0,1]. 同样可证,当m∈(0,1]时,f(m)为增函数,从而p∈(0,]. 解法二:由解法一知,m∈[-1,0)∪(0,1].由(2)知 p=f(m)==. 设t=,g(t)=t+2t2,则t∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 又g(t)=2t2+t=2(t+)2-. ∴当t∈(-∞,-1]时,g(t)为减函数,g(t)∈[1,+∞). 当t∈[1,+∞)时,g(t)为增函数,g(t)∈[3,+∞). 因此,当m∈[-1,0]时,t∈(-∞,-1],p=∈(0,1]; 当m∈(0,1]时,t∈[1,+∞),p∈(0,]. |