已知函数f(x)=13x3-x2-3x+a+1存在三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．

题型：填空题难度：简单来源：不详

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2-3x+a+1存在三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．

答案

由题意可得：函数为f(x)=

1

3

x3-x2-3x+a+1，
所以f′（x）=x²-2x-3．
令f′（x）＞0，则＞x＞3或x＜-1，令f′（x）＜0，则-1＜x＜3，
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），减区间为（-1，3），
所以当x=-1时函数有极大值f（-1）=

8

3

+a，当x=3时函数有极小值f（3）=a-8．
因为函数f(x)=

1

3

x3-x2-3x+a+1存在三个不同的零点，
所以f（-1）=

8

3

+a＞0并且f（3）=a-8＜0，
解得：-

8

3

＜a＜8．
所以实数a的取值范围是 (-

8

3

，8)．
故答案为(-

8

3

，8)．