已知二次函数f（x）的图象过点A（-1，0），B（3，0），C（1，-8），（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，3]上的最值；（3）求不等式f（x
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知二次函数f（x）的图象过点A（-1，0），B（3，0），C（1，-8），
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，3]上的最值；
（3）求不等式f（x）≥0的解集． |
答案
（1）由题意设f（x）=a（x+1）（x-3）（a≠0），
因为f（x）的图象过点C（1，-8），所以-8=a（1+1）（1-3），
解得a=2．
所以f（x）=2（x+1）（x-3）．
（2）f（x）图象的对称轴为x=1，f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
所以f（x）在[0，3]上的最小值为f（1）=-8，
又f（0）=-6，f（3）=0，所以最大值为f（3）=0．
所以f（x）在[0，3]上的最小值为-8，最大值为0．
（3）f（x）≥0即2（x+1）（x-3）≥0，
解得x≤-1或x≥3．
所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥3}． |
举一反三
设f（x）=3ax2-2bx+c，若a-b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（1）求证：方程f（x）=0在区间（0，1）内有两个不等的实数根；
（2）若a，b，c都为正整数，求a+b+c的最小值． |
| 函数y=x2（-3≤x≤1）的最大值、最小值分别是（ ） |
已知f（x）=ax2+bx+c，且当|x|≤1时，|f（x）|≤1，求证：
（1）|c|≤1；
（2）|b|≤1． |
| 已知二次函数f（x）=-x2+2（m-1）x+2m-m2的图象关于y轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数f（x）的单调递增区间． |
已知函数f（x）=x2-ax+4+2lnx
（I）当a=5时，求f（x）的单调递减函数；
（Ⅱ）设直线l是曲线y=f（x）的切线，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率时切线l的方程；
（Ⅲ）若f（x）分别在x1、x2（x1≠x2）处取得极值，求证：f（x1）+f（x2）＜2． |
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