已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．（1）当a=，c=2时

题型：解答题难度：一般来源：期末题

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）当a=，c=2时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且，求a的值；
（3）若f（0）=1，且f（x）≤m²﹣2m+1对所有x∈[0，c]恒成立，求正实数m的最小值．

答案

解：（1）当，c=2时，，
f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
因为f（2）=0，设另一个根为x₁，则2x₁=6，x₁=3．
则f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}．
（2）函数f（x）的图象与x轴有两个交点，因f（c）=0，
设另一个根为x2，则，于是．
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，
则三交点为，
这三交点为顶点的三角形的面积为，且，
解得．
（3）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，
所以f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，
要使f（x）≤m²﹣2m+1，对所有x∈[0，c]恒成立，
必须成立，所有m²﹣2m+1≥1，即m²﹣2m≥0，
解得m≥2或m≤0，而m＞0，
所以m的最小值为2．