已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;

已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;

题型:解答题难度:一般来源:江苏月考题
已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.
答案
解:(1)由已知∵f(x)是二次函数,且f(0)=f(2)
∴对称轴为x=1
又最小值为1
设f(x)=a(x﹣1)2+1
又f(0)=3
∴a=2
∴f(x)=2(x﹣1)2+1=2x2﹣4x+3
(2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1<a+1

(3)由已知2x2﹣4x+3>2x+2m+1在[﹣1,1]上恒成立
化简得m<x2﹣3x+1
设g(x)=x2﹣3x+1
则g(x)在区间[﹣1,1]上单调递减
∴g(x)在区间[﹣1,1]上的最小值为g(1)=﹣1
∴m<﹣1
举一反三
平面四边形ABCD中,AB=,AD=DC=CB=1,△ABD和△BCD的面积分别为S,T,则S2+T2的最大值是(    ).
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如果二次函数y=5x2+mx+4在区间(﹣∞,﹣1)上是减函数,在区间[﹣1,+∞)上是增函数,则f(x)的最小值为(    )
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设f(x)=2x2+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的单调减区间是(    )
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用篱笆靠墙围成一矩形(三边篱笆,一边墙).当篱笆总长为定值l时,矩形的最大面积是(    )
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已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3).
(Ⅰ)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
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