解:(1)设g(x)=ax2+bx+c, 于是g(x﹣1)+g(1﹣x)=2a(x﹣1)2+2c=2(x﹣1)2﹣2, 所以 又g(1)=﹣1,则. 所以. (2). 当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R; 当m=0时,对x>0,f(x)>0恒成立; 当m<0时,由, 列表: . . 所以若x>0,f(x)>0恒成立,则实数m的取值范围是(﹣e,0]. 故x>0使f(x)≤0成立,实数m的取值范围(﹣∞,﹣e]∪(0,+∞). (3)因为对x∈[1,m],, 所以H(x)在[1,m]内单调递减. 于是. . 记,则, 所以函数在(1,e]是单调增函数, 所以, 故命题成立. |