设f（x）为二次函数，且f（1）=1，f（x+1）﹣f（x）=1﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（x）﹣x﹣a，若函数g（x）在实数R上没

题型：解答题难度：一般来源：陕西省期末题

设f（x）为二次函数，且f（1）=1，f（x+1）﹣f（x）=1﹣4x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）﹣x﹣a，若函数g（x）在实数R上没有零点，求a的取值范围．

答案

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c
则f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b，
∵f（x+1）﹣f（x）=1﹣4x
∴2ax+a+b=1﹣4x对一切x∈R成立．
∴
∴，
又∵f（1）=1，
∴a+b+c=1，
∴c=0．
∴f（x）=﹣2x²+3x
（2）g（x）=f（x）﹣x﹣a=﹣2x²+2x﹣a，
函数g（x）在实数R上没有零点，故△=4﹣8a＜0，
解之得