已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:y=﹣t2+8t(其中0≦t≦2.t为常数);l2:x=2.若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:y=﹣t2+8t(其中0≦t≦2.t为常数);l2:x=2.若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴

题型:解答题难度:困难来源:福建省月考题
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:y=﹣t2+8t(其中0≦t≦2.t为常数);l2:x=2.若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;
(Ⅲ)若g(x)=6lnx+m,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
答案
解:(I)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16

∴函数f(x)的解析式为f(x)=﹣x2+8x
(Ⅱ)由得x2﹣8x﹣t(t﹣8)=0,
∴x1=t,x2=8﹣t,∵0≦t≦2,
∴直线l1与f(x)的图象的交点坐标为(t,﹣t2+8t)由定积分的几何意义知:

=
=
(Ⅲ)令H(x)=g(x)﹣f(x)=x2﹣8x+6lnx+m
因为x>0,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点,则
函数H(x)=x2﹣8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

∴x=1或x=3时,H"(x)=0
当x∈(0,1)时,H"(x)>0,H(x)是增函数,
当x∈(1,3)时,H"(x)<0,H(x)是减函数
当x∈(3,+∞)时,H"(x)>0,H(x)是增函数
∴H(x)极大值为H(1)=m﹣7;H(x)极小值为
H(3)=m+6ln3﹣15
又因为当x→0时,H(x)→﹣∞;
当x→+∞时,H(x)→+∞
所以要使Η(x)=0有且仅有两个不同的正根
,必须且只须

∴m=7或m=15﹣6ln3.
∴当m=7或m=15﹣6ln3.时,函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点
举一反三

已知函数f(x)=x2﹣(a2﹣a)x﹣2
(1)若当x∈[1,3]时,f(x)为单调函数,求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在[2,4]上的最大值g(a);
(3)求g(a)的最大值.

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已知f(x)的定义域为{x∈R|x≠0},且f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=﹣x2+bx+c,若f(1)=f(3),f(2)=2
(1)求b,c的值;
(2)求f(x)在x<0时的表达式;
(3)若关于x的方程f(x)=ax,(a∈R)有解,求a的取值范围
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设a为常数,函数f(x)=x2﹣4x+3.若f(x+a)为偶函数,则a等于  [     ]
A.﹣2  
B.2  
C.﹣1  
D.1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=(a+1)x2+3x+1,若函数f(x)在区间(0,1)上恰有一个零点,则a的取值范围为[     ]
A.a<1 
B.a>﹣6 
C.a>0  
D.a<﹣5
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=x2+2x+1,x∈[1,3]的值域是 _________ .
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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