某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时

题型：解答题难度：一般来源：广东省模拟题

某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x²+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+-1450（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完。
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？

答案

解：（1）当0＜x＜80（x∈N）时，L（x）=-250
=-x²+40x-250，
当x≥80（x∈N）时，L（x）=，
∴L（x）=；
（2）当0＜x＜80，x∈N*时，L（x）=-（x-60）²+950，
∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950；
当x≥80，x∈N*时，
∵L（x）=120-≤1200-2=1200-200=1000，
∴当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000>950，
综上所述，当x=100时，L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大。