已知二次函数f(x)满足条件f(0)=0,f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根。(I)求f(x)的解析式;(II)是否存在实数m,n,使f(x
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已知二次函数f(x)满足条件f(0)=0,f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根。(I)求f(x)的解析式;(II)是否存在实数m,n,使f(x
题型:解答题
难度:一般
来源:湖南省月考题
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=0,f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根。
(I)求f(x)的解析式;
(II)是否存在实数m,n,使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,说明理由。
答案
解:(I)∵f(x)是二次函数,设f(x)=ax
2
+bx+c (a≠0)
∴f(0)=0
∴c=0
f∴(x)=ax
2
+bx
又∵f(-x+5)=f(x-3)
∴函数f(x)的对称轴为x=1
∴
又∵方程f(x)=x,
即ax
2
+(b-1)x=0有等根
∴(b-1)
2
=0
∴
∴
。
(II)假设存在实数m,n,使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]
∵
∴
∴
又函数f(x)的对称轴为x=1,且开口向下
∴f(x)在[m,n]上单调递增
∴
,即
又m<n
∴m=-4,n=0
∴存在实数m=-4,n=0满足题意。
举一反三
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)。
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数
满足条件:①
;②
的最小值为
。
(1)求函数
的解析式;
(2)设数列
的前
项积为
,且
,求数列
的通项公式;
(3)在(2)的条件下,若
是
与
的等差中项,试问数列
中第几项的值最小?求出这个最小值。
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数f(x)=x
2
+(m﹣1)x﹣3为偶函数,则m=
[ ]
A.﹣2
B.﹣1
C.1
D.2
题型:单选题
难度:一般
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若函数y=x
2
﹣3x﹣4的定义域为[0,m],值域为
,则m的取值范围是
[ ]
A.(0,4]
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
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函数y=x
2
﹣2mx+3在区间[1,3]上具有单调性,则m的取值范围为
_________
.
题型:填空题
难度:一般
|
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