二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f (0)=1， (1)求f(x)的解析式； (2)在区间[-1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的

题型：解答题难度：一般来源：0101 期中题

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f (0)=1，
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[-1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围。

答案

解：(1)设f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1，
∵f(x+1)-f(x)=2x，
∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x，
即2ax+a+b=2x，
所以，∴，
∴f(x)=x²-x+1。
(2)由题意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，
即x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立，
设g(x)=x²-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=，
所以g(x)在[-1，1]上递减，
故只需g(1)＞0，即1²-3×1+1-m＞0，
解得m＜-1。