已知二次函数f（x）=ax2+x，（a∈R）。（1）当0＜a＜时，f（sinx）（x∈R）的最大值为，求f（x）的最小值；（2）对于任意的x∈R，总有|f（si

题型：解答题难度：困难来源：专项题

已知二次函数f（x）=ax²+x，（a∈R）。
（1）当0＜a＜时，f（sinx）（x∈R）的最大值为，求f（x）的最小值；
（2）对于任意的x∈R，总有|f（sinxcosx）|≤1。试求a的取值范围；
（3）若当n∈N*时，记，令a=1，求证：成立。

答案

解：（1）由知
故当时，f（x）取得最大值
即
∴
∴
所以f（x）的最小值为-1。
（2）∵对于任意的x∈R，总有||≤1
令
则命题转化为，不等式恒成立
当时，使成立
当时，有
对于任意的恒成立
∵
∴或
则
故要使①式成立，则有
又
故要使②式成立，则有
由题意
综上。
（3）由题意
令
则

∴在时单调递增
∴
又
∴
综上，原结论成立。