已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞-2x的解集为（1，3）。（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式；（2）若

题型：解答题难度：一般来源：0115 期中题

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞-2x的解集为（1，3）。
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。

答案

解：（1）依题意可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a＜0， 
∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x，
由f(x)+6a=0有两个相等的实数根，即方程ax²-(2+4a)x+9a=0有两个相等的实数根，
∴△=0，∴a=1，a=，
∵a＜0，
∴。
（2）且a＜0，
∴，
解之得，a的取值范围为。