已知≤a≤1，若函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)。（1）求g(a)的函数表达

题型：解答题难度：一般来源：0120 期中题

已知≤a≤1，若函数f(x)=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)。
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断函数g(a)在区间[，1]上的单调性，并求出g(a)的最小值。

答案

解：（1）∵≤a≤1，
∴f(x)的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为，
∴f(x)有最小值，
当2≤≤3时，，f(x)有最大值M(a)=f(1)=a-1；
当1≤<2时，，f(x)有最大值M(a)=f(3)=9a-5；
∴。
（2）设
则，∴，
∴g(a)在上是减函数；
设
则，
∴，
∴在上是增函数，
∴当时，g(a)有最小值。