已知定义在[1,4]上的函数f(x)=x2-2bx+(b≥1),(1)求f(x)的最小值g(b);(2)求g(b)的最大值M。

已知定义在[1,4]上的函数f(x)=x2-2bx+(b≥1),(1)求f(x)的最小值g(b);(2)求g(b)的最大值M。

题型:解答题难度:困难来源:0113 期末题
已知定义在[1,4]上的函数f(x)=x2-2bx+(b≥1),
(1)求f(x)的最小值g(b);
(2)求g(b)的最大值M。
答案
解:f(x)=(x-b)2-b2+的对称轴为直线x=b( b≥1),
(1)①当1≤b≤4时,g(b)=f(b)=-b2+
②当b>4时,g(b)=f(4)=16-
综上所述,f(x)的最小值
(2)①当1≤b≤4时,g(b)=-b2+=-(b-)2+
∴当b=1时,M=g(1)=
②当b>4时,g(b)=16-是减函数,
∴g(b)<16-×4=-15<
综上所述,g(b)的最大值M=
举一反三
某企业为打入国际市场,决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
其中年固定成本与年生产的件数无关,m是待定常数,其值由生产产品的原材料决定,预计m∈[6,8],另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去。
(1)求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系,并求出其定义域;
(2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案.
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已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数)。
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)若a>0,设f(x)在区间[1,2]的最小值为g(a),求g(a)的表达式。
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像过点(0,1),且有唯一的零点-1。
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)当x∈[-2,2]时,求函数F(x)=f(x)-kx的最小值g(k)。
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如图所示,用一根长为4米的木料制成窗框,设窗框的宽为x米,长为y米(y>x),若不计木料的厚度与损耗,则将窗的面积S表示成宽x的函数S(x)为(    )。
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Rt△ABC如图所示,直角边|AB|=3,|AC|=4,D点是斜边BC上的动点,DE⊥AB交于点E,DF⊥AC交于点F。设|AE|=x,四边形FDEA的面积为y,求y关于x的函数f(x)=(    )。
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