已知定义在[1，4]上的函数f(x)=x2-2bx+(b≥1)，（1）求f(x)的最小值g(b)；（2）求g(b)的最大值M。

题型：解答题难度：困难来源：0113 期末题

已知定义在[1，4]上的函数f(x)=x²-2bx+(b≥1)，
（1）求f(x)的最小值g(b)；
（2）求g(b)的最大值M。

答案

解：f(x)=(x-b)²-b²+的对称轴为直线x=b（ b≥1），
（1）①当1≤b≤4时，g(b)=f(b)=-b²+；
②当b＞4时，g(b)=f(4)=16-，
综上所述，f(x)的最小值。
（2）①当1≤b≤4时，g(b)=-b²+=-(b-)²+，
∴当b=1时，M=g(1)=；
②当b＞4时，g(b)=16-是减函数，
∴g(b)＜16-×4=-15＜；
综上所述，g(b)的最大值M=。