是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由

题型：解答题难度：一般来源：不详

是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x²＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

a的取值范围为a>1或a<－

解析

解：令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)²－4(a－1)＝9a²－16a＋8＝9(a－)²＋>0，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，
∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
∴a≤－或a≥1．
检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x²＋x．
令f(x)＝0，即x²＋x＝0，得x＝0或x＝－1．
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1．
当f(3)＝0时，a＝－，
此时f(x)＝x²－x－．
令f(x)＝0，即x²－x－＝0，
解得x＝－或x＝3．
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－．
所以a的取值范围为a>1或a<－．