已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx(k＞0)有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g(t)＝t2－6t＋7的值域为________．

题型：填空题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx(k＞0)有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g(t)＝t²－6t＋7的值域为________．

答案

解析

在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t一定在区间(3，4)内，g(t)＝t²－6t＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t＝＞3，g(t)的最小值为g＝－，直线y＝kx(k＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故<k²<，而k²＝时，直线与半圆相切，由得(1＋k²)x²－6x＋8＝0，取k²＝，得x²－6x＋7＝－1，t<x，所以g(t)＝t²－6t＋7＜－1