设，（1）若的图像关于对称，且，求的解析式；（2）对于（1）中的，讨论与的图像的交点个数.

题型：解答题难度：一般来源：不详

设，
（1）若的图像关于对称，且，求的解析式；
（2）对于（1）中的，讨论与的图像的交点个数.

答案

(1)；（2）见解析.

解析

试题分析：(1)因为函数图象关于对称，故为二次函数且对称轴为 ∴ ，又，代入可求得函数解析式；（2）将问题转化为有几个解的问题，令，利用导数讨论其增减区间，当时，与的图像无交点；当时，与的图像有一个交点；当时，与的图像有两个交点.
试题解析：（1）∵的图像关于对称
∴为二次函数且对称轴为 ∴
又∵ ∴ ∴ 
（2） 即
即
令
当时     
∵   ∴
即在递增
当时     
∵     ∴
即在递减， ∵
当时 
当时 
∴①当时，与的图像无交点；
②当时，与的图像有一个交点；
③当时，与的图像有两个交点.