设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为（    ）A．5B．6C．7D．8

题型：单选题难度：简单来源：不详

设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为（    ）

A．5

B．6

C．7

D．8

答案

B

解析

试题分析：在同一坐标系内画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，在上
图象交点的个数既是h(x)零点的个数。
∵f(－x)=f(x),∴f(x)是偶函数
∵f(x)=f(2－x)
∴f(－x+2)=f(－x)
∴f(x)=f(x+2)
∴f(x)是周期函数，周期为2
∵当x∈[0,1]时，f（x）=x³
∴当x∈[－1,0]]时，f（x）=－x³
∴x∈[1，]时，f(x)=f(x－2)=－(x－2)³
g（x）=|xcos(πx)|
g(－x)=g(x)，g(x)是偶函数
x∈[－，]， πx∈[－，]，cosπx>0
g(x)=xcos(πx)， g"(x)=cos(πx)－πsin(πx)=0
x∈[1，]，πx∈[π，]，cosπx<0
g(x)=－xcos(πx)
可在同一坐标系内画出函数在[－,]上的简图，观察交点个数为6个，
∴h(x）=g（x）－f（x）在上的零点个数有6个，选B.
点评：难题，通过分析函数特征，明确了函数图象的大致形态，在同一坐标系内观察两图象的交点情况。