已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,π≤φ<2π)为偶函数,且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为4+π2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函

已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,π≤φ<2π)为偶函数,且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为4+π2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函

题型:解答题难度:一般来源:枣庄二模
已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,π≤φ<2π)为偶函数,且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为


4+π2

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,4π]内的所有零点之和.
答案
(1)函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)为偶函数,∴cosφ=±1,∴φ=kπ,k∈z.
再由 π≤φ<2π 可得 φ=π,∴函数f(x)=cos(ωx+π)=-cosωx,故其周期为
ω
,最大值为1.
设图象上最高点为(x1,1),与之相邻的最低点为(x2,-1),则|x2-x1|=
T
2
=
π
ω

∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为


4+π2
=


(
π
ω
)
2
+22
,解得ω=1,
∴函数f(x)=-cosx.
(2)函数f(x)在[0,4π]内的所有零点为:
π
2
2
,2π+
π
2
,2π+
2

∴函数f(x)在[0,4π]内的所有零点之和为
π
2
+
2
+(2π+
π
2
)+(2π+
2
)=8π
举一反三
已知函数f(x)=
1
2
x-cosx则方程f(x)=
π
4
所有根的和为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=
1
3
x3+
a-1
2
x2-ax+a
,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=0在(0,2)内恰有两个实数根,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在[t,t+2](t∈(-3,-2))上的最大值为H(t),最小值为h(t),记g(t)=H(t)-h(t),求函数g(t)的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=lnx+2x的零点个数是(  )
A.0B.1C.2D.3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个极值点x1,x2,且x1<x2
(1)求实数a的取值范围;
(2)当a=
3
8
时,判断方程f(x)=-
1
4
的实数根的个数,并说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
2
m(x-1)2-2x+3+lnx,m∈R.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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