已知函数f(x)=12x-cosx则方程f(x)=π4所有根的和为______.
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已知函数f(x)=12x-cosx则方程f(x)=π4所有根的和为______.
题型:填空题
难度:一般
来源:郑州二模
已知函数f(x)=
1
2
x-cosx则方程f(x)=
π
4
所有根的和为______.
答案
∵f(x)=
1
2
x-cosx,∴f"(x)=
1
2
+sinx,
当x∈(-
π
6
,
7π
6
)时,因为sinx
>-
1
2
,所以f"(x)=
1
2
+sinx>0
∴f(x)=
1
2
x-cosx在(-
π
6
,
7π
6
)上是增函数
∵f(
π
2
)=
1
2
•
π
2
-cos
π
2
=
π
4
∴在区间(-
π
6
,
7π
6
)上有且只有一个实数x=
π
2
满足f(x)=
π
4
.
又∵当x≤-
π
6
时,
1
2
x<-
π
12
,-cosx≤1,∴当x≤-
π
6
时,f(x)=
1
2
x-cosx≤1-
π
12
<
π
4
,
由此可得:当x≤-
π
6
时,方程f(x)=
π
4
没有实数根
同理可证:当x≥
7π
6
时,方程f(x)≥
7π
6
-1>
π
4
,所以方程f(x)=
π
4
也没有实数根
综上所述,方程f(x)=
π
4
只有一个实数根x=
π
2
,因此方程f(x)=
π
4
所有根的和为
π
2
故答案为:
π
2
举一反三
设函数f(x)=
1
3
x
3
+
a-1
2
x
2
-ax+a
,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=0在(0,2)内恰有两个实数根,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在[t,t+2](t∈(-3,-2))上的最大值为H(t),最小值为h(t),记g(t)=H(t)-h(t),求函数g(t)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)=lnx+2x的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数f(x)=x
2
+aln(x+1)有两个极值点x
1
,x
2
,且x
1
<x
2
.
(1)求实数a的取值范围;
(2)当a=
3
8
时,判断方程f(x)=-
1
4
的实数根的个数,并说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
1
2
m(x-1)
2
-2x+3+lnx,m∈R.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
x
2
-x+1,x∈[1,2]
2x-1,x∈(-∞,1)∪(2,+∞)
(I)解关于x的不等式
:
f(x)≤1;
(II)若1≤x≤2,判断函数h(x)=2xf(x)-5x
2
+6x-3的零点个数,并说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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