已知函数f(x)=12m(x-1)2-2x+3+lnx,m∈R.(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1

已知函数f(x)=12m(x-1)2-2x+3+lnx,m∈R.(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1

题型:解答题难度:一般来源:盐城三模
已知函数f(x)=
1
2
m(x-1)2-2x+3+lnx,m∈R.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.
答案
(1)当m=0时,函数f(x)=-2x+3+lnx
由题意知x>0,f′(x)=-2+
1
x
=
-2x+1
x
,令f′(x)>0,得0<x<
1
2
时,
所以f(x)的增区间为(0,
1
2
).
(2)由f′(x)=mx-m-2+
1
x
,得f′(1)=-1,
知曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2,
于是方程:-x+2=f(x)即方程
1
2
m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个实数根;
设g(x)=
1
2
m(x-1)2-x+1+lnx,(x>0).
则g′(x)=
mx2-(m+1)x+1
x
=
(x-1)(mx-1)
x

①当m=1时,g′(x)=
(x-1)(x-1)
x
≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且g(1)=0,故m=1符合题设;
②当m>1时,由g′(x)>0得0<x<
1
m
或x>1,
由g′(x)=
(x-1)(mx-1)
x
<0得
1
m
<x<1,
故g(x)在区间(0,
1
m
),(1,+∞)上单调递增,在( 1,
1
m
)区间单调递减,
又g(1)=0,且当x→0时,g(x)→-∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点,故m>1不合题意;
③当0<m<1时,由g′(x)=
(x-1)(mx-1)
x
>0得0<x<1或x>
1
m

由g′(x)=<0得1<x<
1
m

故g(x)在区间(0,1),(1,
1
m
)上单调递增,在(
1
m
,+∞)区间单调递减,
又g(1)=0,且当x→0时,g(x)→+∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点,故0<m<1不合题意;
∴由上述知:m=1.
举一反三
已知函数f(x)=





x2-x+1,x∈[1,2]
2x-1,x∈(-∞,1)∪(2,+∞)

(I)解关于x的不等式f(x)≤1;
(II)若1≤x≤2,判断函数h(x)=2xf(x)-5x2+6x-3的零点个数,并说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1,且a∈(0,3),则对于任意的b∈R,函数F(x)=f(x)-x总有两个不同的零点的概率是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)
(1)若函数f(x)在(0,2)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)设x1,x2,x3为方程f(x)=0的三个根,且x1∈(-1,0),x2∈(0,1),x3(-∞,-1)∪(1,+∞),求证:|a|>1.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=log
 (x+
1
x
)2
-a
在区间[
1
2
,2]
内有零点,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知方程
|sinx|
x
=k
在(0,+∞)有两个不同的解α,β(α<β),则下面结论正确的是(  )
A.tan(α+
π
4
)=
1+α
1-α
B.tan(α+
π
4
)=
1-α
1+α
C.tan(β+
π
4
)=
1+β
1-β
D.tan(β+
π
4
)=
1-β
1+β
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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