已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)(1)若函数f(x)在(0,2)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)设x1,x2,x3为方程f(x)=0的三

已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)(1)若函数f(x)在(0,2)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)设x1,x2,x3为方程f(x)=0的三

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)
(1)若函数f(x)在(0,2)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)设x1,x2,x3为方程f(x)=0的三个根,且x1∈(-1,0),x2∈(0,1),x3(-∞,-1)∪(1,+∞),求证:|a|>1.
答案
(1)由题意,得f′(x)=-3x2+2ax 
令f′(x)=0,解得x=0或x=
2
3
a

当a<0时,由f′(x)>0,解得
2
3
a<x<0,
∴f(x)在(
2
3
a
,0)上是增函数,与题意不符,舍去      
当a=0时,由f′(x)=-3x2≤0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数与题意不符,舍去   
当a>0时,由f′(x)>0,解得0<x<
2
3
a

∴f(x)在(0,
2
3
a
)上是增函数,
又∵f(x)在(0,2)上是增函数,
所以
2
3
a
≥2,解得a≥3   
综上,a的取值范围为[3,+∞)         
另要使f(x)在(0,2)上是增函数,只需f′(x)在(0,2)上恒大于或等于零
∵f′(x)=)=-3x2+2ax 的图象是开口向下的抛物线,且过定点(0,0)
∴只需





f′(0)≥0
f′(2)≥0
,即





0≥0
-3×4+4a≥0

a≥3,即a的取值范围为[3,+∞)      
(2)因为方程f(x)=-x3+ax2+b=0最多只有3个根,
由题意得在区间(-1,0)内仅有一根,
∴f(-1)f(0)=b(1+a+b)<0,①
由题意得在区间(0,1)内仅有一根,
∴f(0)•f(1)=b(-1+a+b)<0      ②
当b=0时,∵f(0)=0,
∴f(x)=0有一根0,这与题意不符,
∴b≠0
当b>0时,由①得1+a+b<0,即a<-b-1,
由②得-1+a+b<0,即a<-b+1,
∵-b-1<-b+1,∴a<-b-1<-1,
即a<-1    
当b<0时,由①得1+a+b>0,即a>-b-1,
由②得-1+a+b>0,即a>-b+1,
∵-b-1<-b+1,∴a>-b+1>1,
即a>1  
综上,|a|>1
举一反三
若函数f(x)=log
 (x+
1
x
)2
-a
在区间[
1
2
,2]
内有零点,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知方程
|sinx|
x
=k
在(0,+∞)有两个不同的解α,β(α<β),则下面结论正确的是(  )
A.tan(α+
π
4
)=
1+α
1-α
B.tan(α+
π
4
)=
1-α
1+α
C.tan(β+
π
4
)=
1+β
1-β
D.tan(β+
π
4
)=
1-β
1+β
题型:单选题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在[0,2013]上的零点个数是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x3+x-2的零点分别为x1,x2,x3,则(  )
A.x3<x1<x2B.x1<x3<x2C.x2<x3<x1D.x1<x2<x3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a≤2.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2]上有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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