定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在[0,2013]上的零点个数是______
题型:填空题难度:一般来源:长春一模
定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在[0,2013]上的零点个数是______. |
答案
y=x2 与 y=2x 的函数曲线在区间(0,4]有两个交点,在区间(-1,0]区间有一个交点, 但当x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x=16无根 即当x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x有3个零点 由f(x)+f(x+5)=16, 即当x∈(-6,-1]时,f(x)=x2-2x无零点 又∵f(x+5)+f(x+10)=f(x)+f(x+5)=16, ∴f(x+10)=f(x),即f(x)是周期为10的周期函数, 在x∈[0,2013],分为三段x∈[0,4],x∈(4,2009],x∈(2009,2013] 在x∈[0,4]函数有两个零点, 在x∈(4,2004]有200个完整周期,即有600个零点, 在x∈(2004,2013]共有两个零点, 综上函数f(x)在[0,2013]上的零点个数是604 故答案为:604 |
举一反三
已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x3+x-2的零点分别为x1,x2,x3,则( )A.x3<x1<x2 | B.x1<x3<x2 | C.x2<x3<x1 | D.x1<x2<x3 |
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已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a≤2. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)在(0,2]上有且只有一个零点,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=x--1,g(x)=x+2x,h(x)=x+lnx,零点分别为x1,x2,x3,则( )A.x1<x2<x3 | B.x2<x1<x3 | C.x3<x1<x2 | D.x2<x3<x1 |
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已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R. (1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)若a<0,求f(x)的单调区间; (3)若a=-1,函数f(x)的图象与函数g(x)=x3+x2+m的图象有3个不同的交点,求实数m的取值范围. |
设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a. (1)当m=2时,若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有两个不同的实数解,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调区间?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由. |
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