∵f(x)=(ax2+x-1)ex,∴f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)ex=(ax2+2ax+x)ex, (1)当a=1时,f(1)=e,f′(1)=4e,故切线方程为y-e=4e(x-1), 化为一般式可得4ex-y-3e=0; (2)当a<0时,f′(x)=(ax2+2ax+x)ex=[x(ax+2a+1)]ex, 若a=-,f′(x)=-x2ex<0,函数f(x)在R上单调递减, 若a<-,当x∈(-∞,-2-)和(0,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x∈(-2-,0)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若-<a<0,当x∈(-∞,0)和(-2-,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x∈(0,-2-)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; (3)若a=-1,f(x)=(-x2+x-1)ex,可得f(x)-g(x)=(-x2+x-1)ex-x3-x2-m, 原问题等价于f(x)-g(x)的图象与x轴有3个不同的交点, 即y=m与y=(-x2+x-1)ex-x3-x2的图象有3个不同的交点, 构造函数F(x)=(-x2+x-1)ex-x3-x2, 则F′(x)=(-2x+1)ex+(-x2+x-1)ex-x2-x =(-x2-x)ex-x2-x=-x(x+1)(ex+1),令F′(x)=0,可解得x=0或-1, 且当x∈(-∞,-1)和(0,+∞)时,F′(x)<0,F(x)单调递减, 当x∈(-1,0)时,F′(x)>0,F(x)单调递增, 故函数F(x)在x=-1处取极小值F(-1)=--,在x=0处取极大值F(0)=-1, 要满足题意只需∈(--,-1)即可. 故实数m的取值范围为:(--,-1) |